回転系の運動方程式

回転系の運動方程式と慣性モーメントを導出します。この記事では、 $1\times 1$ 行列をスカラーと同一視し、ベクトルの内積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ を $\mathbf{a}^T\mathbf{b}$ と書きます

回転行列
速度の回転変換
回転系の運動方程式
慣性モーメント

回転行列

回転の運動は回転系で記述するのが自然な方法でしょう。しかし、慣性系から回転系に移ればベクトル量である位置，速度，加速度はそれぞれ変換を受けます。これら $3$ 次元ベクトルの回転変換は、次の条件を満たす $3\times 3$ の回転行列 $\mathbf{R}$ をかけてなされます

$\displaystyle \mathbf{R}^T\mathbf{R}= \mathbf{R} \mathbf{R}^T =\mathbf{1}_3$

ただし、 $\mathbf{1}_3$ は $3$ 次元の単位行列です

※ 行列式をとれば $\det \mathbf{R} =\pm 1$ となりますが、この記事では反転を含む変換 $\det\mathbf{R}=-1$ は考えません

説明
回転変換は、任意のベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の大きさとその間の角度を変えないため、内積を変えない変換です。そこで、回転変換後のベクトルを $\mathbf{a}'=\mathbf{R}\mathbf{a}, \mathbf{b}'=\mathbf{R}\mathbf{b}$ とおいて内積をとれば

$\displaystyle \mathbf{a}'^T\mathbf{b}'=(\mathbf{R}\mathbf{a})^T(\mathbf{R}\mathbf{b})=\mathbf{a}^T\mathbf{R}^T\mathbf{R}\mathbf{b}=\mathbf{a}^T\mathbf{b}$

となります。これが任意の $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ について成り立つので $\mathbf{R}^T\mathbf{R}=\mathbf{1}_3$ を得ます。また、これに左から $\mathbf{R}$ ，右から $\mathbf{R}^{-1}$ をかければ $\mathbf{R}\mathbf{R}^T=\mathbf{1}_3$ を得ます
なお、正確には内積を変えない変換には反転も含まれ、回転と合わせて直交変換と呼ばれます。行列式は $\det\mathbf{R}=\pm 1$ ですが、反転を含まない回転変換が $\det\mathbf{R}=+1$ です。それは、任意の回転は恒等変換（無回転）からの無限小回転の連続で与えられ、行列式の値が $+1$ から $-1$ に飛び越えようがないためです

速度の回転変換

慣性系における位置ベクトルを $\boldsymbol{x}_I$ ，これを回転系に移したものを $\boldsymbol{x}_R$ と置きます。適当な直交行列 $\mathbf{R}$ をもって

$\displaystyle \boldsymbol{x}_I = \mathbf{R} \boldsymbol{x}_R$

と表せます。両辺を時間で微分すれば

$\displaystyle \dot{\boldsymbol{x}}_I = \mathbf{R} \dot{\boldsymbol{x}}_R + \dot{\mathbf{R}} \boldsymbol{x}_R$

ここで $\dot{\mathbf{R}}$ が初登場しましたので、自然な発想として直交行列の性質 $\mathbf{R}^T \mathbf{R}=\mathbf{1}_3$ の時間微分を調べてみる気になります。すると

$\displaystyle \dot{\mathbf{R}}^T\mathbf{R}+\mathbf{R}^T\dot{\mathbf{R}}=0$

より

$\displaystyle \dot{\mathbf{R}}^T\mathbf{R} = (\mathbf{R}^T\dot{\mathbf{R}})^T = -\mathbf{R}^T\dot{\mathbf{R}}$

を得ます。そこで $\mathbf{\Omega}=\mathbf{R}^T\dot{\mathbf{R}}$ と置くと、これは歪対称行列になっています

$\displaystyle \mathbf{\Omega}^T=-\mathbf{\Omega}$

$\dot{\boldsymbol{x}}_I$ の表式の両辺に $\mathbf{R}^T$ をかけて $\dot{\mathbf{R}}$ を消去すれば

$\displaystyle \mathbf{R}^T\dot{\boldsymbol{x}}_I=\dot{\boldsymbol{x}}_R + \mathbf{\Omega} \boldsymbol{x}_R$

慣性系における速度 $\dot{\boldsymbol{x}}_I$ は、回転系での見かけの速度 $\dot{\boldsymbol{x}}_R$ と座標の回転に由来する速度 $\mathbf{\Omega} \boldsymbol{x}_R$ の和に変換されます

$\mathbf{\Omega}$ について補足

$\mathbf{\Omega}$ は角速度を表す行列です。このことは $\mathbf{\Omega}$ の成分を考えると分かりやすいでしょう。先ず歪対称行列 $\mathbf{\Omega}$ は適当な実数 $a, b, c$ をもって

$\displaystyle \mathbf{\Omega}= \begin{pmatrix} 0&-a&-b\\ a&0&-c\\ b&c&0 \end{pmatrix}$

と表されます。これを $\boldsymbol{x}_I$ にかければ

$\displaystyle \mathbf{\Omega}\boldsymbol{x}_I= \begin{pmatrix} 0&-a&-b\\ a&0&-c\\ b&c&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -ay-bz\\ -cz+ax\\ bx+cy \end{pmatrix}$

となり、結果はベクトルの外積のような形をしています。事実、 $a=\omega_z, b=-\omega_y, c=\omega_x$ とおけば

$\displaystyle \mathbf{\Omega}\boldsymbol{x}_I= \begin{pmatrix} 0&-\omega_z&\omega_y\\ \omega_z&0&-\omega_x\\ -\omega_y&\omega_x&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_y z-\omega_z y\\ \omega_z x-\omega_x z\\ \omega_x y-\omega_y x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{x}_I$

このように歪対称行列はベクトルの外積の形で書かれます：こういったベクトルを特に軸性ベクトルと呼びます。 $\boldsymbol{\omega}$ は位置ベクトル $\boldsymbol{x}_I$ と外積をとって速度となりますから、これは角速度ベクトルそのものです。
次に、外積を使わずに考えてみます。先ず $\mathbf{\Omega}$ を次のように分けます

$\displaystyle \mathbf{\Omega}= \begin{pmatrix} 0&-\omega_z&\omega_y\\ \omega_z&0&-\omega_x\\ -\omega_y&\omega_x&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \omega_x+ \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ -1&0&0 \end{pmatrix} \omega_y+ \begin{pmatrix} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \omega_z=\mathbf{\Omega}_x+\mathbf{\Omega}_y+\mathbf{\Omega}_z$

$\mathbf{\Omega}$ の定義より $\dot{\mathbf{R}}=\mathbf{R}\mathbf{\Omega}$ ですから、時刻 $t+\Delta t$ における回転行列 $\mathbf{R}(t+\Delta t)$ は微小時間 $\Delta t$ の一次近似で

$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}(t+\Delta t)&\sim\mathbf{R}(t)+\dot{\mathbf{R}}(t)\Delta t=\mathbf{R}(t)(\mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}\Delta t)\\ &\sim\mathbf{R}(t)(\mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}_x\Delta t)(\mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}_y\Delta t)(\mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}_z\Delta t) \end{aligned}$

となります。そこで $\Delta t$ での $x$ 軸まわりの回転角（右ねじの向きを正とします）を $\Delta\theta_x\sim\omega_x\Delta t$ などと書けば

$\displaystyle \mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}_x\Delta t\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&-\Delta\theta_x\\ 0&\Delta\theta_x&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\Delta\theta_x&-\sin\Delta\theta_x\\ 0&\sin\Delta\theta_x&\cos\Delta\theta_x \end{pmatrix}$

$\displaystyle \mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}_y\Delta t\sim \begin{pmatrix} 1&0&\Delta\theta_y\\ 0&1&0\\ -\Delta\theta_y&0&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \cos\Delta\theta_y&0&\sin\Delta\theta_y\\ 0&1&0\\ -\sin\Delta\theta_y&0&\cos\Delta\theta_y \end{pmatrix}$

$\displaystyle \mathbf{1}_3+\mathbf{\Omega}_z\Delta t\sim \begin{pmatrix} 1&-\Delta\theta_z&0\\ \Delta\theta_z&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \cos\Delta\theta_z&-\sin\Delta\theta_z&0\\ \sin\Delta\theta_z&\cos\Delta\theta_z&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

それぞれ $x, y, z$ 軸まわりの微小回転（右ねじ）を表していることが分かります。ゆえ $\mathbf{\Omega}\Delta t$ は任意の微小回転を表し、 $\mathbf{\Omega}$ は $\Delta t\to 0$ の極限で角速度を表します

回転系の運動方程式

加速度の表式を得るため、先に得た速度の回転変換の式をさらに時間微分します

$\displaystyle \mathbf{R}^T\ddot{\boldsymbol{x}}_I+\dot{\mathbf{R}}^T\dot{\boldsymbol{x}}_I=\ddot{\boldsymbol{x}}_R +\mathbf{\Omega} \dot{\boldsymbol{x}}_R+\dot{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{x}_R$

左辺第２項の速度 $\dot{\boldsymbol{x}}_I$ の項が邪魔ですから、再び速度の回転変換の式を使ってこれを消去します

$\displaystyle \dot{\mathbf{R}}^T\dot{\boldsymbol{x}}_I = \dot{\mathbf{R}}^T (\mathbf{R} \mathbf{R}^T) \dot{\boldsymbol{x}}_I = (\mathbf{R}^T\dot{\mathbf{R}})^T \mathbf{R}^T\dot{\boldsymbol{x}}_I = -\mathbf{\Omega}(\dot{\boldsymbol{x}}_R+\mathbf{\Omega}\boldsymbol{x}_R)$

もとの式に戻して整理すれば、加速度の回転変換の表式を得ます

$\displaystyle \mathbf{R}^T\ddot{\boldsymbol{x}}_I=\ddot{\boldsymbol{x}}_R+\mathbf{\Omega}^2\boldsymbol{x}_R+2\mathbf{\Omega}\dot{\boldsymbol{x}}_R+\dot{\mathbf{\Omega}}\boldsymbol{x}_R$

回転系での加速度の項 $\ddot{\boldsymbol{x}}_R$ について解き、質量 $m$ をかければ回転系の運動方程式を得ます

$\displaystyle m\ddot{\boldsymbol{x}}_R=\mathbf{R}^T m\ddot{\boldsymbol{x}}_I-m\mathbf{\Omega}^2\boldsymbol{x}_R-2m\mathbf{\Omega}\dot{\boldsymbol{x}}_R-m\dot{\mathbf{\Omega}}\boldsymbol{x}_R$

右辺第１項は、質点に作用する力を回転系で見たものです。第２項からは全て見かけの力で、それぞれ順に遠心力，コリオリ力、オイラー力と呼ばれます。この内、遠心力は回転系で必ず現れる力です。他方、コリオリ力は質点が回転系で静止する場合 $\dot{\boldsymbol{x}}_R= 0$ ，オイラー力は等角速度系の場合 $\dot{\mathbf{\Omega}}=0$ には現れない力です
ベクトル表記するには、 $\mathbf{\Omega}$ を $\boldsymbol{\omega}\times$ で置き換えます。ついでに質点に作用する力を回転系で見たものを $\mathbf{F}_R$ とおいて

$\displaystyle m\ddot{\boldsymbol{x}}_R=\mathbf{F}_R-m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{x}_R)-2m\boldsymbol{\omega}\times\dot{\boldsymbol{x}}_R-m\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{x}_R$

慣性モーメント

運動量 $\mathbf{p}$ は慣性質量 $m$ と速度 $\dot{\boldsymbol{x}}$ の積で定義されます。これに倣い、角運動量 $\mathbf{L} = \boldsymbol{x}\times\mathbf{p}$ を慣性モーメント $\mathbf{I}$ と角速度 $\boldsymbol{\omega}$ の積の形で表します。まず、 $\mathbf{L}$ の式をできるところまで変形します

$\displaystyle \mathbf{L} = \boldsymbol{x}\times\mathbf{p} = \boldsymbol{x}\times m\dot{\boldsymbol{x}} = m\boldsymbol{x}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{x}) = -m\boldsymbol{x}\times(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{\omega})$

先ほど確認したように、ベクトルの外積（ここでは $\boldsymbol{x}\times$ ）は歪対称行列 $\mathbf{X}$ で表されます。その成分は $\mathbf{\Omega}$ の成分と同様に考えて

$\displaystyle \mathbf{X}=\begin{pmatrix} 0&-z&y\\ z&0&-x\\ -y&x&0 \end{pmatrix}$

ですから、慣性モーメント $\mathbf{I}$ は

$\displaystyle \mathbf{I}=-m\mathbf{X}^2 = -m\begin{pmatrix} -(y^2+z^2)&xy&zx\\ xy&-(z^2+x^2)&yz\\ zx&yz&-(x^2+y^2) \end{pmatrix} = m\left(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}\mathbf{1}_3-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T\right)$

となります。
なお、同じことですが、歪対称行列 $\mathbf{X}$ を経ずにベクトル三重積 $\boldsymbol{x}\times(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{\omega})$ を直接計算して導くこともできます。アインシュタインの縮約記法を使えば、三重積の $j$ $(\in \{x,y,z\})$ 成分は

$\displaystyle \epsilon_j{}^{kl}x_k\epsilon_l{}^{mn}x_m\omega_n = (\epsilon^l{}_j{}^k\epsilon_l{}^{mn})x_k x_m\omega_n= (\delta_j^m\delta^{kn}-\delta_j^n\delta^{km})x_k x_m\omega_n = x_k x_j \omega^k - x_k x^k \omega_j$

ただし、 $\epsilon_j{}^{kl}$ 等はレヴィ＝チヴィタのイプシロン、 $\delta_j^m$ 等はクロネッカーのデルタです。途中式の $()$ の中で縮約公式を用いています。右辺は $x_j \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{\omega} - \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}\omega_j$ と書けますので、結局ベクトル三重積は

$\displaystyle \boldsymbol{x}\times(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{\omega}) = \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{\omega} - \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega}=-(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}\mathbf{1}_3-\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T)\boldsymbol{\omega}$

$-m$ を乗じて $\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$ を得ます
さて、外力 $\mathbf{F}$ は運動量 $\mathbf{p}$ を時間変化させます

$\displaystyle \dot{\mathbf{p}}=m\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}$

では、角運動量は何によって時間変化するのでしょうか。角運動量を時間微分すれば

$\displaystyle \dot{\mathbf{L}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) = \dot{\mathbf{r}}\times m\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r}\times m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{N}$